题目

数学大臣尤泽尔受到国王亚路开德的召见，被侍卫克里亚带到了一个房间。在他的面前只有两扇门，门前各有一个守门人。

“两个守门人中有一个人只说真话，另一个人只说假话”，克里亚说，“陛下在其中一扇门后面等着您，但陛下要求您只可以问其中一个人一个问题。”

“另一扇门后面有什么？”尤泽尔问。

这位王国最聪明的头脑，以往都是二话不说地轻松解决所有谜题，今天居然问起了失败的后果。克里亚有些诧异，但还是耐心地解释道“只有一把空椅子。”

“不错”，尤泽尔呢喃了一句，令克里亚心里顿感不妙。

尤泽尔随便走向其中一个守门人，问了一个有些复杂的问题，守门人随即陷入沉思，那痛苦的表情让克里亚有些担心。但好在，几分钟过后，守门人还是回答了上来，是正确的门。然而，克里亚尚未来得及松一口气，只见尤泽尔直接打开了另外一扇门——然后坐到了那把空椅子上。在守门人赶上之前，尤泽尔砰地一声关上了门。

“让陛下来找我”，尤泽尔的声音透过门传来，“他只能问其中一个人一个问题”。

陛下应该问什么问题，才能找到正确的门？

答案（不唯一）

问其中一个守门人：“如果我问另一个守门人‘哪扇是正确的门’，他会回答哪扇门？”，回答的门就是错误的门，选择另一扇门即可。

证明

分类讨论：

• 若问到了说真话的守门人，则另一个守门人说的是假话，会回答错误的门，那么这个说真话的守门人就会告诉你错误的门
• 若问到了说假话的守门人，则另一个守门人说的是真话，会回答正确的门，那么这个说假话的守门人就会告诉你错误的门

所以无论问的是哪个守门人，回答都是错误的门，因此选择另一扇门即可。

原理

这里我们先完善一下“说假话”的定义：若答案是二元的（如是或不是、左或右等），则会说相反的答案；若答案非二元，则有可能说出任何不正确的答案。

我们先来弄清楚这个游戏存在的二元：

• 两个守门人，其中一个只说真话，一个只说假话
• 两扇门，只有一扇门是正确的

前者是游戏背景规则，也是做选择时的限制，但并非我们需要的答案；后者是游戏背景规则，也是我们需要的答案。

只问一个问题很难同时得到两个问题的答案，因此我们应该考虑放弃弄清楚谁说真话谁说假话，只要确定哪扇门是正确或错误的就可以了。换言之，我们需要问一个“不管问到说真话还是说假话的人，都会回答相同的答案”的问题。

答案的问题正是如此。从证明里我们能发现，不管问到说真话还是说假话的守门人，最后回答的都是错误的门。

为何能达成这样的效果呢？我们研究一下，问题的回答在被我们得知之前都经过了什么。以左边的门为正确的门且问到了说真话的守门人为例：

• 最内层的问题：哪扇是正确的门，此时回答为左
• 内层问题：问另一个守门人“哪扇是正确的门”的回答，由于另一个守门人说的是假话，最内层回答为左，所以此时回答为右
• 外层问题：问这个守门人“如果问另一个守门人…”的回答，由于这个守门人说的是真话，内存回答为右，所以此时回答为右

再以左边的门为正确的门，且问到了说假话的守门人为例；

• 最内层的问题：哪扇是正确的门，此时回答为左
• 内层问题：问另一个守门人“哪扇是正确的门”的回答，由于另一个守门人说的是真话，最内层回答为左，所以此时回答为左
• 外层问题：问这个守门人“如果问另一个守门人…”的回答，由于这个守门人说的是假话，内存回答为左，所以此时回答为右

可以发现，两次回答的过程的共同点是，回答都是被反转了一次的。

答案的巧妙之处在于，这个问题虽然只对一个守门人问了，但其实回答的过程把两个人都经过了，因此得到的回答一定是最内层问题的相反回答。

因此，原理同上的问题都可以完成本题的任务。如“另一个守门人会告诉我正确的门是左边的门吗？”，如果回答不会，那么正确的门就是左边的门。

思考

这里面有没有什么数学原理呢？

当然是有的。

说句题外话：逻辑解构系列里的谜题当然都是有更深的原理的，这样才值得我们研究，而且几乎必然离不开数学，这也是为什么尤泽尔是数学大臣而不是物理大臣或者解谜大臣。

理解上面的原理后，我们发现，因为原问题必定把两个守门人都经过一次，所以回答一定会被反转一次，此时两个守门人有点类似“串联”的关系。

用逻辑表示说真话与说假话使答案发生的变化的话，说真话就是保持不变，说假话就是取反。

答案问题中的“串联”，实际上就等价于最内层问题的一个取反，只不过是利用游戏规则表达成了语言而已。

  flowchart LR
	A[原问题回答]
	B[说真话的守门人]
	C[说假话的守门人]
	D[给尤泽尔的回答]
	A-->B
	B--保持不变-->C
	C--取反-->D

同理，我们很容易想到另一种“串联”方法：将自己与自己串联。说真话串上说真话，答案不变；说假话串上说假话，就是取反再取反，也是不变。转换成语言就是“如果我问你，哪扇是正确的门，你会回答哪扇门？”

  flowchart LR
	subgraph 问到说假话的守门人
		direction LR
		E[原问题回答]
		F[说假话的守门人]
		G[说假话的守门人]
		H[给尤泽尔的回答]
		E-->F
		F--取反-->G
		G--再取反-->H
		end
	subgraph 问到说真话的守门人
		direction LR
		A[原问题回答]
		B[说真话的守门人]
		C[说真话的守门人]
		D[给尤泽尔的回答]
		A-->B
		B--保持不变-->C
		C--保持不变-->D
		end

这样我们就得出了本题的另一个可能的答案，并且这个答案会直接得到正确的门，不用再反转一次，并且哪怕只有一个守门人也可以问到正确的门。

和位运算有关系吗？

过程之中的反转，很容易让我们联想到布尔值。提到布尔值，很容易联想到的就是逻辑运算或者位运算，这里我们研究位运算，那不得不做的就是看一下真值表。

以二元问题为例，我们把其中一个答案看作 $1$，相反答案看作 $0$。这里我们将一个问题在经过守门人之前的答案看作输入，守门人会给出的答案看作输出。

那么，只说真话的守门人的真值表：

原封不动，我们可以看作和 $1$ 做与运算，也就是 x & 1。

我们再来看看只说假话的守门人的真值表：

取反，我们可以看作取反，也就是 ~x，也可以看作 x ^ 1。

由此，我们可以发现上面的第一种答案对应的运算其实就是 ~(x & 1) 或者 ~(x ^ 1)，第二种对应的是 ~(~x) 或者 x ^ 1 ^ 1。

由此我们也可以玩的更复杂一些，叠更多的运算。当然，由于我们并不知道哪个人说真话哪个人说假话，所以两种运算符的数量要一致。

例如，我们尝试构造 ~(~~x&1&1)&1 对应的问题：

  graph LR
A[原问题回答]-->B[真话]--不变-->C[真话]--不变-->D[假话]--取反-->E[假话]--取反-->F[真话]--不变-->G[假话]--取反-->H[尤泽尔]

问说假话的人：如果我问另一个人【如果我问另一个人〖如果我问你“如果我问另一个人‘如果我问你，哪扇是正确的门，你会回答哪扇门’，他会回答哪扇门”，你会回答哪扇门〗他会回答哪扇门】，他会回答哪扇门？

更多的守门人？

位运算总共有六种，运算对象有两种，由此可以构造出一共八种守门人，请选择你的角色：

真的没办法同时问出谁说真话谁说假话吗？

施工中。

附录

参考文献

问题经过故事化（这会成为逻辑解构的传统），原问题与原答案来自于某本小说。

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