题目

国王试图量化一对搭档有多默契，于是他设计了一个默契测试：两位受试者被分别关在两个相隔遥远的封闭房间，都使用一模一样的硬币进行抛硬币，然后猜测其搭档的抛硬币的结果。如果一轮测试中，至少有一个人猜对搭档的结果，则计一分。进行一百轮这样的测试，就可以得到这对搭档的默契值。

然而，两位数学大臣立刻提出这个测试存在漏洞。国王不信，于是两位大臣商量好策略后，一起接受了测试。国王发现，不管进行多少次测试，两位大臣测的默契值总是一百分，便相信了两位大臣的发现，并给予他们奖赏。

请问两位大臣的策略是什么？

一人始终猜自己抛硬币得到的结果，一人始终猜自己抛硬币得到的结果的相反结果。在这样的策略下，总会有一人猜对，一人猜错。

证明：设 A 是那个始终猜自己抛硬币得到的结果的人，则 B 是始终猜自己抛硬币得到的结果的相反结果的人。

不妨设 A 抛到了正面，也就是 A 猜正面。

如果 B 抛到的也是正面，那么 A 猜对，得分。如果 B 抛到的是反面，由于 B 会猜相反的结果，也就是 B 会猜 A 抛到证明，那么 B 猜对， 得分。

原理

如果简单地思考这个问题，不妨想到，猜一次抛硬币的结果的正确概率是 $\frac12$，那么两个人两次猜硬币，至少一个人猜对的概率应该是 $\frac34$，怎么会存在必然得分的策略呢？

如果你真的尝试了答案的策略玩了几轮，就会发现确实必然得分。为什么猜对方的结果的测试，策略却是与自己的结果有关？

由于硬币只有两种结果，猜也是两种结果，可以得到一共 16 种情况，使用枚举法还是较为容易的。这里为了简便，我们只列出所有无法得分的情况，即两个人都猜错的情况：

如果你观察力足够强，可以发现，无法得分的情况要么是两个人都猜自己的结果，要么两个人都猜自己的结果的相反结果，因此可以得出答案的策略。那么为什么是这个策略呢？

其实答案故意增加了理解的难度。”猜是自己结果“有些奇怪，但是其实可以等价描述为“猜两个人的结果相同“。同理，另一方实际上在做的是”猜两个人的结果不相同”。显然，两个人的结果要么相同，要么不相同，自然在这种策略下必然一人对一人错，因而必然得分。这么一讲就非常好理解了。

诶，那么一开始的思考错在了哪里？我们用新的理解去重新计算概率，抛两次硬币，结果相同的概率的确是 $\frac12$，也就是 A 和 B 猜对的概率确实都是 $\frac12$，但不同的是，这时 A 猜对和 B 猜对是一对互斥事件，而在最开始的思考中我们认为两个事件独立。

独立与互斥，显然是由于策略不同导致的。问题在于，正如上表，这个双人游戏实际上并非简单的猜两次抛硬币，而是包含了两个信息与两个决策，总共四个事件的。

一开始的思考中，我们认为受试者是随机选择的猜测结果，因此四个事件之间的确相互独立，因而十六种情况概率相等，于是 $\frac{12}{16}$ 的概率胜利。然而，这种思考没有考虑到上述四个事件存在的极其隐秘的联系：A 与 B 决策前是已知他们自己的结果的。

  graph TB
A[A]--已知-->B[A 的结果]
A-.猜测.->D
C[B]--已知-->D[B 的结果]
C-.猜测.->B

有已知信息，那么决策时就可以考虑利用已知信息，从 16 种情况中划去一些情况。

例如，一旦 A 只猜与自己相同的结果，那么 16 种情况就会划去 8 种，剩下 8 种情况。而上表 4 种不能得分的情况也被划掉了两种，只剩下上表中序号 1 和 2 的情况。

不难想到，只要 B 也有一个利用已知信息的策略能够把 1 和 2 给划掉，同时还有剩下的可以得分的情况，那么就可以实现百分百得分了。观察序号 1 和 2 中 B 的结果与已知的关系发现，B 都是猜了与自己相同的结果，那么得到策略：猜与自己相反的结果。这便是答案。

好像划掉情况很容易呀，那还有没有别的答案呢？

先来个简单的：A 只猜正。总情况数少一半，上表中四种情况只剩下 1 和 4，那么 B 能否找到对应的策略呢？答案是不能，因为情况 1 和 4 说明中，B 结果都是反，而 B 猜测结果有正有反，两者没有什么关联，他只能知道自己抛到正面就稳了，但是抛到反面的话，B 没办法依据已知信息来决策自己猜正还是猜反，不能划掉这两种情况，因此不能必胜。A 只猜反也同理。

从这里我们可以发现，上表四种情况我们要么剩 1 和 2，要么剩 3 和 4，否则会出现 B 的结果与 B 的猜测结果没有联系，那么 B 决策时就利用不了已知信息，那就变回了独立的情况了。

因此，答案只能是上述策略或其等价形式。

思考

上述策略，实际上将问题转化为了猜两个人抛硬币结果相不相同，为什么可以这样转化呢？两者之间有什么隐藏关联？

采取上述策略后，只剩下四种情况，我们一一列出：

因为根据决策，A 与 B 的猜测来自于 A 与 B 的结果，是确定的，因此我们不妨略去这两列，即：

抛两次硬币的情况也是四种，我们列出：

很容易发现，之所以能这么转化，是因为答案策略划掉了十二种情况，剩下的四种情况与抛两次硬币的情况相同，因而我们可以这么转化地去解释，但两个问题并没有本质上的关联。

那么，我们能否设计出类似的游戏呢？实际上只要是类似于下面这个流程图的，都是一样的策略。

  graph TB
A[A]--已知-->B[二元信息 1]
A-.猜测.->D
C[B]--已知-->D[二元信息 2]
C-.猜测.->B

上述策略有没有什么数学原理呢？我们不妨转换为布尔值（正为 0，反为 1），列出真值表。

A 的策略：

B 的策略：

直接说 A 是相同 B 是相反好像并没有发现什么新的数学原理，因为策略本来就是这么描述的。所以我们往其他方向考虑：奇偶性？

A 的已知与猜测的和是 0 或 2 都是偶数，而 B 的已知与猜测的和是 1 是奇数。因此我们可以这么描述策略：A 始终猜两个硬币的和是偶数，B 始终猜两个硬币的和是奇数。由于两个硬币的和要么是偶数要么是奇数，自然总有一个人对。

这个思路看起来很有空间，因为奇偶性其实就是模二。那游戏是不是可以拓展到三个呢？当然是可以的。

  flowchart TB
	subgraph 决策者
		direction LR
		A[A]
		B[B]
		C[C]
	end
	subgraph 信息
		direction LR
		D[三元信息 1]
		E[三元信息 2]
		F[三元信息 3]
	end
	A-.猜测.->D
	A--已知-->E
	A--已知-->F
	B-.猜测.->E
	B--已知-->D
	B--已知-->F
	C-.猜测.->F
	C--已知-->D
	C--已知-->E

流程图表示出来较为复杂，设计起来也是。这里有 $3^6$ 种情况，采用决策过后有 $81$ 种情况，只需让每个人占有其中 $27$ 种情况作为胜利即可。

我们依据这个图设计一个最简单的，没有玩什么文字游戏的游戏：

三个人被关在三个隔绝的房间，每个房间门外都竖着一个旗帜（但房间内的人看不到），旗帜可能是红、黄、蓝三种颜色之一（可能一个颜色的旗帜有多个，也可能没有某个颜色的旗帜），每个人都被告知另外两个人门口的旗帜颜色，要求猜自己旗帜的颜色，若三个人中有人猜对即胜利。

类比上述数学原理，我们设红为 0，黄为 1，蓝为 2，设三个旗帜的和为 $s$。

由于 $s\bmod 3$ 的必然是 0 或 1 或 2，具有天然的三分性，我们容易想到以下策略：

• A 始终猜 $s\bmod 3\equiv 0$
• B 始终猜 $s \bmod 3 \equiv 1$
• C 始终猜 $s \bmod 3 \equiv 2$

这样就必然有一个人是猜对的，但前提是 ABC 这样的“猜”等价于某一种符合游戏规则的策略，即，这样的猜在实际情况中能对应唯一确定的颜色。

由于另外两个旗帜的和 $\bmod 3$ 一定是 $0,1,2$ 之中一个，且自己的旗帜也只能是 $0,1,2$ 之中一个，所以由于：

• 若 $s \bmod 3\equiv 0$，则 $s=0+0$ 或 $s=1+2$ 或 $s=2+1$
• 若 $s \bmod 3\equiv 1$，则 $s=0+1$ 或 $s=1+0$ 或 $s=2+2$
• 若 $s \bmod 3\equiv 2$，则 $s=0+2$ 或 $s=1+1$ 或 $s=2+0$

也就是说，在已知另外两个的和，以及自己猜定一个总和，确实可以唯一确定需要的自己的颜色，该策略有效。

同理，可以推广至更多人的情况。

附录

参考文献

这一道题目来自民间（经过了我的美化，当然，这会成为逻辑解构系列的传统），第一道思考题来自 GM 的视频。

版权信息

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